Oceń: (0) (0)

sandmanx 2008-05-29 21:05:13

Aby zbadać monotoniczność ciągu o danym wyrazie ogólnym, należy zbadać znak różnicy an+1 - an. Jeśli jest ona dodatnia wtedy ciąg jest rosnący, jeśli ujemna ciąg jest malejścy, a jeśli równa 0, to ciąg jest stały.
    
     Ciąg (an) nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla
     każdego n ? N+ jest spełniona nierówność
     an+1 > an.
    
     Ciąg (an) nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla
     każdego n ? N+ jest spełniona nierówność
     an+1 < an.    
    
     Ciąg (an) nazywamy ciągiem stałym, wtedy i tylko
     wtedy, gdy an+1 = an.      
  
źródło: http://www.math.edu.pl/monotonicznosc-ciagu   
więc:

an = 5 - 3n  gdzie n należy do naturalnych

an+1 = 5 - 3(n+1) = 5 - 3n - 3 = 2 - 3n

an+1 - an = 2 - 3n - ( 5 -3n ) = 2 - 3n - 5 + 3n = -3 < 0

Ciąg ten jest więc ciągiem malejącym.

bn = n/2n + 1
bn+1 = (n+1)/(2(n+1) + 1) = (n+1)/(2n + 3)

bn+1 - bn = (n+1)/(2n + 3) - n/(2n+1) = 
[(2n+1)(n+1) -n(2n+3)] / [(2n+3)(2n+1)] =
(2n^2 + 3n + 1 - 2n^2 - 3n) / (2n^2 + 8n + 3) =
1/(2n^2 + 8n + 3) >0

Ponieważ n należy do naturalnych, dla każdego n mianownik będzie większy od zera, więc różnica wyrazów jest zawsze większa od zera - ciąg jest rosnący.

Pozdrawiam.